数学教育特論�U　レポート　　　　　　　　　２００１．８．３０

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 別　所　隆　子

　

　

楕円ビリヤードのシュミレーション

　

　 数学の授業とコンピュータということで、こんなことをコンピュータでシュミレーシ ョンできたらおもしろいかなということを考えてみました。自分でプログラムできたら

いいのですが、Ｌｏｇｏに出会ったのは初めてで、今の段階では、とてもプログラムは、 出来ないと思いましたので、その構想をレポートにまとめたいと思います。

　

　

楕円ビリヤードについて

　　今年の春休みに、松阪にある三重こどもの城で、『数学と遊ぼう　かたちと数のワ　ンダーランド』という企画をやってました。その中で、楕円ビリヤードがあり、『２　個の玉が焦点の位置にあるときは、一方の玉をどんな方向に打ち出しても、楕円の周　上で反射して、必ずもう一方の玉に当たる』ということを実験出来るものでした。こ　の楕円ビリヤードに出会ったとき、焦点とは、そういうことだったんだ、とちょっと　感動しました。

　　そこで、 楕円ビリヤードの模型を作ってみました。

　　 ・ 楕円は、『２点からの距離の和が等しい点の集合』という定義から、糸とペン　　　　 を使って作図しました。

　　 ・ 実際に玉を発射してみると、７割ぐらいはうまくいきますが、ボールが跳ね返　　　　る場所によっては、滑って理想通りに反射しなかったして、うまくいかないこ　　　　ともありました。

　　 ・ いろいろな楕円で、試してみられるとおもしろいと思いました。

　　というわけで、楕円ビリヤードをコンピュータでシュミレーションできたら、おも　　しろいなと考えました。

　

　

　

　楕円ビリヤードのコンピュータでのシュミレーションの構想

　　　コンピュータに全部自動的にやらせるのでなく、設定など自分でできるといいな　　と思いました。

　 （その１）

　　 ・　画面上の２点を設定する。（自分で設定できるように）

　　 ・　距離を設定する。（自分で設定できるように）

　　 ・　コンピュータに楕円を描かせる（できたら、手描きで描いているように画面上　　　　 で、その様子がわかるように）

　　 ・　２つの焦点のうち、玉を発射する点を選ぶ。（自分で選べるように）

　　 ・　楕円の周上の１点（焦点から発射した玉が最初にぶつかるところ）を選ぶ。（自　　　　 分で選べるように）

　　 ・　コンピュータに焦点から発射した玉がどのような軌跡を描くかシュミレーショ　　　　 ンさせる。（１度跳ね返って焦点に当たる場合と、２度跳ね返って焦点に当た　　　　 る場合があるので、焦点に当たってから次に楕円の周に当たるまで描くように

　　　　 しておく）

　　　　（注意）物や光が跳ね返るとき、『入射角と反射角は、等しい』ということを　　　　　　　　確認し、コンピュータは、そのように設定してあることを説明してお　　　　　　　　く。

　　　・ ５回発射して、どのようなことがわかるか考える。

　

　 （その２）

　　　・ （その１）は、焦点に当たったところでストップしたが、そのまま軌跡を描き　　　　　続けさせ、もう一度、発射した焦点に玉が戻ってくることを確認する。

　　　

　　 ※　シュミレーションをしたあと、発展的に、なぜ『焦点から発射した玉がもう一　　　　 つの焦点に行きつくか 』ということ考えさせてもいいかなと思います。

　　 ※　『放物線では、軸に平行に入射した物体や光が放物線上で反射すると、必ず　　　　　 焦点を通る』ということもあわせてシュミレーションしてみるとおもしろいと　　　　 思います。